重啟2007，從學霸到學閥 第52章 我！陸時羨！寶刀未老

    第一題是一道代數題，an是一道多項式之和，求證：當正整數n≥2時，a（n+1）＜an。

    剛看見這題的時候，陸時羨還有些沒有思路，於是一下子就頓在那裡了。

    畢竟純粹的代數題，非常考驗人的邏輯聯繫思維能力。

    難道連第一道證明題都做不出來？這已經是最簡單的了。

    陸時羨忽然緊張起來，如果連第一題都做不出來，絕對是對他後面題目解答的一個巨大打擊。

    他輕吐一口氣，慢慢迫使自己平靜下來。

    越是緊張越不能著急。

    陸時羨再次審題，忽然發現自己陷入了一個誤區，證明這種比大小的題目，何必將其分別代入後再比呢？

    他只需要轉換一下思維方式。

    a與b比大小也可以轉換成a與b比差或者a與b比商。

    如果a-b最後的結果大於零，或者a/b的結果大於1，那就可以說明a大於b.

    想到這，陸時羨的眼睛越來越亮。

    他在草稿紙上飛快地驗算，對於an式，可以利用乘法分配律將n+1單獨分離出來。

    再得出對任意的正整數n≥2，an-a（n+1）最後的簡化式。

    最後證明簡化式大於零。

    故a（n+1）＜an。

    此題得證。

    將這道題解決，陸時羨長鬆一口氣，開始看下一題。

    第二題是一道平面解析幾何。

    題目大意是對勾函數和一條直線得到的兩個交點，然後求交點在對勾函數上兩條切線的交點軌跡是多少？

    不得不說，如果邏輯思維能力不夠，光是看題目就足夠讓你看暈了。

    不過說起來，這種題還是陸時羨的強項，他在數學裡最擅長的就是將圖形轉化成代數。

    無非就是求交點的坐標。

    根據給出的條件聯立方程組，由題意知，該方程在(0，+∞)上有兩個相異的實根x1、x2，故k≠1，且Δ（1）式=1+4(k?1)＞0，兩個實根之和（2）式與之積（3）式都大於零。

    由此可以得出直線的斜率k的取值範圍，最後對對勾函數進行求導

    化簡得到直線l1和l2的方程（4）式和（5）式

    （4）式-（5）式得xp的函數表達式（6）式

    將(2)(3)兩式代入(6)式得xp=2

    (4)式+(5)式得yp的函數表達式（7）式

    將(2)(3)的組合式代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k

    根據斜率k的取值範圍2＜yp＜2.5

    即點p的軌跡為(2，2)，(2，2.5)兩點間的線段（不含端點）

    陸時羨寫完這題，考試時間已經只剩下四十分鐘了。

    第二道大題還真的不難，思路很簡單，就是計算過程有些複雜，同時也比較費時間，光這一個題目就花了他幾十分鐘。

    來不及吐槽，陸時羨趕緊望向第三大題，

    設函數f(x)對所有的實數x都滿足f(x+2π)=f(x)。

    求證：存在4個函數fi(x)(i=1，2，3，4)滿足：

    （1）對i=1，2，3，4，fi(x)是偶函數，且對任意的實數x，有fi(x+π)=fi(x)；

    （2）對任意的實數x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

    題目看起來非常簡潔，可是陸時羨知道最後的解答過程是題目的數倍，可能還不止。

    時間不多，陸時羨決定先解決第一題。

    陸時羨用屁股想都明白，凡是跟圓周率π挨上邊的基本上就跟周期函數掛鉤了。

    他直接策反了敵方f(x)兩員大將的g(x)與h(x)，且g(x)是偶函數，h(x)是奇函數，對任意的x∈r，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。

    然後分別代入四條函數fi(x)，i=1，2，3，4。得到四條函數f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)的表達式。

    故fi(x)，i=1，2，3，4是偶函數，且對任意的x∈r，fi(x+π)=fi(x)。

    這個倒是簡單，極有限次數的驗證只需要分別代入驗證就行了，不費腦子。

    陸時羨覺得只要次數在10以下，他都能接受，無非就是費點筆芯而已。

    畢竟總比看半天題目無從下手的強。

    不過此題好像還是給了參賽者一些餘地，因為陸時羨發現第二問與第一問的關聯很大。

    將剛剛第一問得到的代數式代入f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x

    接下來，分情況討論就完事了。

    因為f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)因為x的取值範圍，從而存在6種情況。

    其中有兩種已經無需討論，已經是從實招來。

    還有四種情況依然負隅抵抗，陸時羨只好使出假設殺威棒。

    最後它們終於被屈打成招，也因此證明了所有六種情況完全成立。

    綜上所述，此式成立得證！

    陸時羨長吐一口氣，再用餘光看向周圍時，諾大的教室居然只剩下他一個人。

    他忽然心裡一慌，時間還沒結束啊，不會吧？

    自己花這麼大力氣證明的題目，別人這麼快就做完了？

    是我老了提不動屠龍刀了，還是現在的小朋友太厲害？

    他一抬頭，就看著監考員直盯盯地望著他。

    什麼意思？是我讓你失望了嗎？

    對不起我道歉，我承認我真的是個數學渣渣。

    他頗為憂鬱地起身交卷，然後收拾行李，準備離開這個傷心地。

    可沒想到當他離開的時候，背後傳來監考員的讚嘆聲。

    「哎呦，不錯哦！這個考場的人早就放棄提前走了，只有你還在默默堅持。」

    陸時羨：???？

    「不管對錯，你能做完，也不愧我盯你一個人盯了一個小時了。」

    陸時羨：e?(?＞灬＜)?3

    陸時羨本來低潮的心情又漸漸回升起來。

    這意思好像是我還算可以，寶刀未老啊！

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